Реторика в математиката
За реториката и математиката
Реторика е изкуството на дискурса. Разглеждана като наука, предмет на реториката са „всички явления и факти, които са свързани с целенасочен публичен обмен на информация и/или отстояване на становище по обществено значими теми и проблеми“. [1] Известно е, че реториката съществува още по времето на най-древните цивилизации в Месопотамия, Китай, Египет, Индия и Южна Америка. В Древна Гърция тя се изгражда като наука и са написани основополагащите трудове на Платон, Аристотел, Цицерон, Квинтилиан, софистите и други. В средновековните университети тя е една от трите науки, които се изучават, така наречения тривиум – граматика, логика и реторика.
Математиката, наричана от Гаус „Кралицата на науките“, е абстрактна наука, изучаваща теми като количество, структура, пространство и промяна. От броене, смятане, измерване, изучаване на форми и движения, чрез абстракция и логически разсъждения, се оформя науката математика.
Езикът на математиката е труден за разбиране от непрофесионалисти. Нотацията й, която започва да се използва през XVI век, е силно компресирана – няколко символа могат да носят голямо количество информация. Много думи от ежедневния език имат стриктно специализрано значение в математическия. И въпреки това доста хора я наричат единствения универсален език, разбираем от всяка нация на земята, а може би дори и извън нея.
Тази разработка засяга връзката между реториката и математиката от древността до днешни дни. По същество двете науки са изключително различни и първосигналният отговор би бил, че връзка между тях няма. Въпреки това много учени изследват реториката на точните науки като цяло и твърдят, че те не могат да се практикуват без реторична дейност. Точните науки включват аргументация, структуриране на текстове, дебати. Всеки учен трябва да убеди своята общност, че изследването му се позовава на солиден научен метод. Реториката на точните науки е практика на убеждаването, което само по себе си произлиза от каноните на реториката.
Казахме, че реториката изучава целенасочен публичен обмен на информация и становища по обществено значими теми. Темите на математиката са обществено значими, дискурсът й е целенасочен и публичен. Следователно може да опитаме да разгледаме техните допирни точки.
Древногръцка реторика и математика
Учените, които изучават древногръцката математика, обикновено подхождат по два различни метода. Първият е да подхождат към старите математически текстове със своите съвременни методи, обмисляйки как те биха решили проблема и на тази база да разберат подхода, описан в текста. Вторият начин е да се абстрахират от своите знания и да разглеждат текста само през призмата на древните методи, които са били на разположение по онова време. Според математика Ален Бернар, обаче, античната реторика е ключът към разгадаването на тези текстове.
Древногръцката математика се различава силно от тези преди нея по това, че се е изучавала сама по себе си. Според Уилбър Нор, професор по история на математиката, древните гърци се интересували основно от това да решат дадена задача по какъвто и да е начин и гледали на теоремите и доказателствата единствено като средство за намиране на решения. Мотивацията за решаване на задачи е идвала от самата дейност, а не от външни фактори и подбуди. По тази причина някои учени търсят ситуационния контекст на древногръцката математика, чрез който да я разчетат. За Ален Бернар това е древногръцката реторика.
Той смята, че тези две дисциплини са били не само свързани, но и моделите им са се припокривали. Древните гърци са упражнявали инвенциото (което изучава начините за изработване на аргументи и доказателства) като изработвали отговор на зададено предизвикателство. Начинът бил да се конструира най-добрият отговор на базата на хранилище от аргументи, взети от класическата литература. Обикновено са се използвали вариации на вече познати аргументи, с подходящо свързване – нещо като джаз импровизация.
По същия начин се е подхождало и към математиката – нейното практикуване е било начинът тя да се учи и самото решаване на задачи е било крайната цел на упражнението. Чрез подходящи математически доказателства, измисляни и събирани във времето, те конструирали отговор на проблема. Използвали са се и каноните на реториката – инвенцио (откриване на подходящи аргументи), диспозицио (тяхното организиране), елокуцио (изразяването им в подходящ стил).
В тази връзка не може да не предположим, че корените на тези две науки в Древна Гърция са близки, а защо не и едни и същи. За съжаление да се намери доказателство на това твърдение отвъд допусканията е почти невъзможно.
Реторика на една математическа теза
Въпреки че в днешни дни математиката вече не е самоцел, можем да видим реторичните канони и в съвременните математически методи. Всяка теорема има доказателство, което е изработено чрез правилно структурирани логически свързани аргументи, доказващи твърдението на теоремата. Още повече, съвременната математика излиза извън границите на чистата логическа аргументация.
В есето си „Реторика и математика“ двама математици – Филип Дейвис и Рубен Хърш, поддържат мнението, че в процеса на правене на математика са заложени реторичните модели за убеждаване.
Повечето хора, които не са запознати с математиката, смятат, че зад всяка теорема стои последователност от логически трансформации, доказващи дадена хипотеза. Те смятат също, че тези логически последователности са напълно разбираеми, проверими и приети от математическата общност. Това е абсолютно погрешно. В съвременния свят математическата теза има две цели – да засвидетелства убеждението на автора, че е прав и да предостави доказателството. Но от гледна точка на официалната логика, повечето от тези доказателства не са пълни. Работа на рецензентите, професионалисти в съответната област на математиката, е да проверят тезата. След тяхното одобрение и публикуване, след последващият анализ на публиката, математическата теория започва да се използва и тества. Тя все пак може да бъде грешна. Геометрията на Евклид е изучавана в продължение на 2000 години и едва в края на XIX век са открити пропуски в логиката й.
В този смисъл, математическите аргументи не са механични и формални, те са човешко взаимодействие. Компетентните математици знаят кои са критичните точки в аргументите им и се съсредоточават върху тях. Развиването на една теза е до голяма степен реторична практика. Начинът, по който тезата ще бъде представена на публиката и стратегията на комуникиране могат да бъдат определящи за начина на възприемане и влияние.
Реторика на безкрайно малките числа
През XVII век, двамата велики учени Нютон и Лайбниц, всеки самостоятелно, достигат до пробив в математиката. Накратко, техният труд създава нов раздел в математиката, наречен “Calculus” (математически анализ, занимаващ се с диференциално и интегрално смятане). В неговата основа стои концепцията за безкрайно малките числа.
Безкрайно малките числа не могат да бъдат емпирично доказани, няма средство, чрез което да се потвърди или отрече тяхното съществуване. Те се основават единствено на рационалност и интуитивна логика. Още повече, теорията на Евклидовата математика отрича възможността за тяхното съществуване. За първи път в историята на математиката безкрайно малките числа отказват да се подчинят на емпирично тестване и нарушават приетата математическа теория. Единственият начин, по който успяват да се наложат, е аргументацията. Тяхната реторична същност надминава границите на математиката и научната практика в XVII век.
За реторичната същност на безкрайно малките числа говори Г. Мичъл Рейес в доклада си „Реторика в математиката“. При създаването на концепцията за безкрайно малките числа и Нютон, и Лайбниц се сблъскват с множество силогизми, които провокират безкрайни критики. Тези числа могат да бъдат събирани и в същото време игнорирани. Сборът им е сбор на нищо и се получава нещо. Стандартният когнитивен език на математиката се оказва недостатъчен. Затова Нютон и Лайбниц използват в публикациите си множество метафори, за да обяснят идеята си. Взаимо-свързаните аргументативни текстове са това, което дава съществуване на безкрайно малките числа.
Нютон и Лайбниц трябва да защитават нещо, което преминава мисловната граница на времето си. Това, което те не успяват да направят чрез математически доказателства, трябва да извършат чрез убеждаващите ресурси на реториката.
С течение на времето начинът, по който Нютон комуникира и обяснява теориите си и тяхното развитие, се променя. Той избягва да отговаря директно на критики, но променя начина си на изразяване и избора на основни точки. Може би защото не е знаел как да обясни теорията си на езика на XVII век или заради непоносимостта си към критики, той пише един от късните си трудове за безкрайно малките числа във високо математичен стил, правейки го достъпен единствено за най-надарените умове. В допълнение използва и неясен език. Тези промени в комуникирането му са реторични по характер, говорят за адаптиране към реакацията на публиката и целят да задоволят и/или убедят критиците и собствените си вярвания.
От своя страна Лайбниц не се притеснява от критики и воденият от него и критиците му дебат е много по-обемен от този на Нютон. Той защитава уверено безкрайно малките числа и предлага множество различни начини да се дефинират и обяснят. Въпреки това критиката го изтощава и с времето той също започва да измества фокуса на теориите си (но не и същината им) по начин, по който да не предизвиква противоречия.
Въпреки че биват използвани с точност от математици, учени и инженери, безкрайно малките числа продължават да предизвикват спорове до втората половина на XIX век, когато няколко математици (Коши, Болзано, Вайерщрас и други) преформулират математическия анализ, замествайки безкрайно малките числа с по-усъвършенствани теории. Новата формулировка на математическия език и символи се показала по-приемлива и убедителна за математическата общност.
Красноречие с числа
Дотук засегнахме историческата и аргументативната страна на връзката реторика-математика и е редно да се засегне и естетическата страна. Ако математиката може да се представи като език, то различните начини на изразяване на този език трябва да предизвикват различни впечатления и усещания. Идеята за математическата красота твърди, че може да се извлича естетическо удоволствие от математиката.
Естетическата красота в реториката на математиката може да бъде намерена на няколко нива. Едно от тях е в красотата на метода. Математиците знаят, че много теореми могат да бъдат математически доказани по различни начини, така както много събития или усещания могат да бъдат изказани по различни начини. Но всяко доказателство има различни характеристики, в зависимост от яснотата, краткостта, оригиналността или дори неочакваността на резултата. Доказателство, което е изключително привлекателно по един или няколко от тези начини, се нарича елегантно.
Друго ниво е красотата в характера на числата. Някои от тях притежават чудатости само в десетичната бройна система, други са им присъщи във всяка бройна система. Тези особености позволяват построяването на красиви симетрии, огледални образи, повторения, сравнения, палиндроми, фигури и т.н.
Бъртранд Ръсел – философ и математик изразява идеята за красотата в математиката по следния начин: „Правилно погледната, математиката съдържа не само истина, но и висша красота – красота хладна и проста, като тази на скулптура, без да привлича някоя част на слабата ни природа, без прекрсаните декорации на картините или музиката и все пак блажено чиста и способна на сурово съвършенство, каквото само най-великото изкуство може да покаже. Истинската същност на възхищение, наслада, чувството да бъдеш повече от Човек, което е мерило за по-висше съществуване, може да бъде намерено в математиката, така, както и в поезията.“ [2]
Заключение
Митът за суровата, тотално шаблонизирана математика е само мит. В реалния живот тя е форма на социално взаимодействие, където доказателството е съчетание от формалност и неформалност, от изчисления и случайности, от убеждаващи аргументи и апели към въображението и интуицията. Това неизбежно навежда на мисълта, че в нея има реторика и то в голяма степен.
Ако приемем важността на реториката в математиката, това повдига още много въпроси. Дали реториката е повлияла на изграждането на математическите концепции? Какви други реторични черти крие или пък игнорира математическият дискурс? Как разглеждането на математиката от реторична гледна точка влияе на начините, по които математиката е мислена, комуникирана и преподавана? Отговорите на тези въпроси определено могат да ни помогнат да вникнем по-добре в историята, характера и психологията на математиката.
Цитати:
[1] Ведър, Й. (2000). Реторика и ораторско изкуство. Университетско издателство „Св. Климент Охридски“, с. 26.
[2] Mathematical Beauty. (28 March 2013). Viewed 6 April 2013. From Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty
Използвана литература:
Ведър, Й. (2000). Реторика и ораторско изкуство. Университетско издателство „Св. Климент Охридски“
Bernard, A (2003). Ancient Rhetoric and Greek Mathematics. Science in context, 16, 391-412
Davis, P., & Hersh, R (1987). Rhetoric and Mathematics. Rhetoric of Human Sciences, 53-68
Mitchell Reyes, G. (2004). The Rhetoric in Mathematics: Newton, Leibniz, the Calculus, and the Rhetorical Force of the Infinitesmal. Quarterly Journal of Speech, 90, 159-184
Posamentier, A. (2003). Math Wonders to Inspire Teachers and Students. Association for Supervision and Curriculum Development
Rhetoric of science. (4 January 2013). Viewed 6 April 2013. From Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Rhetoric_of_science
Calculus. (2 April 2013). Viewed 6 April 2013. From Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus
Mathematical Beauty. (28 March 2013). Viewed 6 April 2013. From Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty
© Стела Цокева, студент от специалност „Връзки с обществеността”, ФЖМК, СУ „Св. Климент Охридски”
Материалът се публикува със съгласието на студента.
Позоваването на автора на текста и на Онлайн справочника при цитиране и ползване е задължително.